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差一点就对的数学

本不存在的多面体

右图中这个漂亮的球体模型,是加拿大滑铁卢大学的计算机科学家克雷格·卡普兰用纸板和透明胶带组装而成的。它看起来就像美国建筑师巴克敏斯特·富勒发明的网格穹顶,或者像一种新款足球。它由4个正十二边形和12个正十边形构成,此外它还留有28个等边三角形形状的缺口。

但这里却有一个大问题:这种球体模型在数学上是不可能存在的。这些正多边形本应不会在每个顶点上完全对齐,所以它们无法构成这个球体模型。

那么为什么在现实中可以做成这个模型呢?原来在组合的时候,每个纸板都会微微地发生扭曲。卡普兰表示,纸板的扭曲产生了一种“蒙混过关的因素”,能使得本该不可能的事情变为了可能。

卡普兰的模型,只是美国数学家诺曼·约翰逊在上个世纪60年代发现的数学现象中的一个新例子。那时的约翰逊,正努力完成一个由柏拉图在2000多年前就开始的项目:编录所有完美的凸多面体。例如,各面都是全等的正多边形且每一个顶点布局都是一样的凸多面体,叫做正多面体。它总共只有5种,分别是正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。如果你用2种以上的正多边形组成一个凸多面体,且要求所有顶点布局都相同,那么你可以得到13个阿基米德立体,以及无数种正棱柱(两个相同的正多边形被多个正方形连接起来)和正反棱柱(两个相同的正多边形被多个等边三角形连接起来)。阿基米德立体、正棱柱和正反棱柱统称为半正多面体。

如果用2种以上的正多边形组成一个凸多面体,但不要求所有顶点布局都相同,那么除了半正多面体,还会有多少种多面体呢?1966年,约翰逊发现了92个这样的多面体,现统称为约翰逊多面体。他猜测自己已经找全了,几年之后,俄国数学家维克托·扎格勒尔证明了这一点。

然而在寻找这些多面体的时候,约翰逊发现了一些奇怪的现象。他用纸板来搭建想要寻找的形状,因为满足要求的多面体不会很多,他认为任何不可能的情况都能很快显现出来。但事实上,他用纸板搭建出了很多个这样的多面体,但经过数学分析后,发现它们本应不存在。约翰逊仔细一看,发现这些多面体的纸板都发生了扭曲,比如某个面扭曲得不像正方形,或者某个面变得不太平坦。约翰逊拿着剪刀试着对某些面进行修剪,使得各个面的纸板不再扭曲,但是修剪完后,各个面就不都是正多边形了。

这些差一点点就成为完美的多面体,被称为拟约翰逊多面体。当时的约翰逊并没有太在意这种多面体。然而现在,拟约翰逊多面体不仅吸引了卡普兰和其他数学家的兴趣,而且被看成“差点就对的数学”的一个典型例子。

差一点就骗到你

差点就对的数学并没有严格的定义,它通常就是指那种差一点就满足要求的,或者差一点就正确的数学现象。其判断标准,也同时是基于人的体验。目前,卡普兰在寻找新的拟约翰逊多面体的时候,基本上是依赖于经验。如果你成功地搭建了一个不可能的多面体,并且与要求很接近,那么你就找到了一个拟约翰逊多面体。

许多古老的问题就属于差点就对的数学。例如,尺规作图三大难题——三等分角(三等分一个任意角)、化圆为方(作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积)和倍立方(作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍)——看起来很容易解决,但最终被证明是不可能的,你最多只能找到一些近似的方法。

不过在许多时候,“差点就对”往往意味着“差一点就骗到你”,可以拿来当作一个数学玩笑或恶作剧。比如左图中,上面那个直角三角形被切成四个部分。这些部分重新组合为下面的直角三角形时,会多出一个正方形的空隙。那么,这个空隙是从哪里来的?

这个谜题被称为“失踪的正方形”,它是由美国业余魔术师保罗·嘉理在1953年提出的。谜题的解答很简单,但许多人都很难想到。图中上下两个大“三角形”其实不是真正的三角形,因为斜边不是一条直线,而是有一个小弯折:蓝色三角形斜边的斜率为0.4,而红色三角形斜边的斜率为0.375。这一差别很难被人所察觉,于是就导致了这个看似悖论的谜题。

此外,在美国动画片《辛普森一家》的某一集中,还出现了一个令许多人大吃一惊的等式:398712+436512=447212。这似乎直接否定了费马大定理,即当n大于2时,xn+ yn= zn的方程是没有整数解的。如果你把这些数字输入一个袖珍计算器里,你会发现这个等式似乎是成立的。但如果你有能显示更多位数的计算器,你会发现398712+436512开12次方的结果为4472.0000000070592907…,而不是4472。虽然差值竟然小于1亿分之一,但等式其实并不成立,所以费马可以安心了。

就差一点也有用

在日常生活中最有用的一个差点就对的数学,就是27/12的结果是1.498307…(就是27开12次方)几乎等于1.5。这是西方音乐的十二平均律的基础,也是钢琴在每一个纯八度音程有12个键的原因。

音程就是两个单音之间的频率高低关系。比如纯八度音程和纯五度音程——频率比为2∶1的两个单音之间的音程被称为纯八度音程,频率比为3∶2的被称为纯五度音程。

在音乐的发展过程中,音乐家们希望有一套标准,能产生出一组单音序列,而且相邻两个单音的音程得是等比的,这样就方便调试各种乐器。如果该标准产生的单音,还能组成纯八度音程、纯五度音程等各种常见音程,那将是一个很完美的事情。那么怎么能“包罗万象”呢?后来,音乐家们提出了一个标准,将八度的音程按频率等比例地分成十二等份,每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。每两个相邻的单音之间的频率比为21/12。这种产生一组单音的办法就是十二平均律。

十二平均律产生的一组单音中,每个单音后的第7个单音,与原来的单音的频率比则是27/12,约为1.498307,大致与3/2相等,这两个单音的音程就是一个纯五度音程。于是,这种“差点就对”使得十二平均律产生的单音,除了能组成纯八度音程以外,还能近似地组成纯五度音程。其他类似的“差点就对”,还能让十二平均律产生的单音大致组成纯四度、大三度等音程。于是,现代乐器的制造,都采用十二平均律来确定单音。

另一些差点就对的数学,却能给数学本身带来重大的影响。例如,拉马努金常数eπㄏ163,约等于262537412640768743.99999999999925,非常接近整数。按理说,e、π和ㄏ163都是无理数,它们组合在一起竟然非常接近一个整数,这是一件非常神奇的事情。数学家认为,这不是什么巧合,而是某种更深一层的数学规律导致的。具体的原因解释起来比较复杂,但可以透露的一点是,该问题与数字163有关。此外,这个问题引发的联系与怪兽月光理论(见“拓展阅读”)很类似。

总之,真实世界往往是不完美的,然而差点就对的数学却能给现实带来一些近似的完美。就像生物学家发现了一个新物种一样,许多数学家开始对这种数学产生了极大地兴趣。对它们的进一步研究,肯定还能带来更多意想不到的发现。

拓展阅读

怪兽月光理论

故事是这样的:1978年,英国数学家约翰·麦凯提出了一个既简单又古怪的等式:196884=196883+1。第一个数字是196884,它是j函数的系数,而j函数是数论中的一个重要的多项式。而196883是与一个叫做怪兽群的数学对象有关的数字。许多人看到这个等式可能会耸耸肩,然后就略过了,但这个等式却引起了一些数学家的兴趣,他们决定仔细研究。最终,他们发现两个看似无关的数学领域——数论和怪兽群——竟能联系起来。这种联系是所谓的怪兽月光理论,它甚至可能对其他学科带来更广泛的意义。例如,美国著名物理学家爱德华·威滕就推测,把怪兽月光理论与弦理论结合起来,也许能得到一个描述量子引力的新模型。

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