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数学和物理的界限在哪里?

“阿基米德,职业:科学家、数学家、物理学家”;

“笛卡尔,职业:哲学家、物理学家、数学家”;

“艾萨克·牛顿,职业:物理学家、数学家”;

“斯蒂芬·威廉·霍金,职业:物理学家、宇宙学家、数学家”。

这是百科对几位伟大科学家的职业描述。从中我们不难发现,物理跟数学总是同时出现,许多物理学家同时也是数学家,而许多数学家也是物理学家。你可千万不要问“物理和数学,哪个更重要?”这种问题,否则你将引起物理系和数学系的世纪大战。但你可以这么问:“数学和物理的界限在哪里?”

预测和证实预测

做一件很简单的事情:扔一个球。如果你知道它扔出的位置和速度等,你就可以用物理得到它落地的具体位置。但是,如果你只是写出球扔出去后的运动轨迹的数学公式,并解出这个公式,你会得到两个答案:一个正数和一个负数,它们都对应着球落地的具体位置,但方向相反。又比如,当我问你“4的平方根是多少?”的时候,你可能会下意识地认为答案是2,但答案也可能是-2。

这可能就是数学和物理的最大区别:数学具有很大的不确定性,它只预测可能的解是什么,而物理是帮助你得到具体的解。所以数学是帮助解决物理问题的工具,特别是当你进入广义相对论或者量子理论,甚至是更遥远的宇宙暴胀理论、额外维度和弦理论的世界时,会发现它们都有描述它们本身的数学模型。

从另外一方面说,物理是用来描述现实宇宙的,所以如果你拿不出任何在物理上可观测的、符合这些数学模型的量,这些数学模型将永远是理论模型,它们是无法用于描述现实宇宙的。举个例子,弦理论虽然可能是解决万物之谜的一套理论,但它始终没有得到相关的实验预测,即一些符合弦理论的现实观测量,而且就连爱因斯坦都无法证明它,所以它目前一直被牢牢地置于理论物理的领域中,无法称之为定论。

相反地,一些可以得到现实观测量的理论也许可以成为定论。比如,暴胀理论是美国宇宙学家阿兰·古斯在1981年提出的一个描述宇宙的理论。此理论指出,早期宇宙在10-36秒~10-32秒这段时间里,以指数倍的形式发生膨胀,宇宙膨胀速度在暴胀结束后变慢。在暴胀理论中,有各种各样的数学预测,其中一个就是量子涨落。

在暴胀过程中,量子涨落(一个点的能量的暂时变化即能量波动)也会发生“暴胀”。暴胀前的宇宙就像一个没有充气的气球,量子涨落则是气球表面的一个非常小的点。当宇宙发生暴胀,气球充气,暴胀就像一个放大镜,放大了气球上的点即量子涨落。结合暴胀理论,被放大的量子涨落最终引起了宇宙微波背景辐射的微小温度波动。

宇宙微波背景被认为是宇宙大爆炸遗留下来的辐射,或者说是大爆炸遗留下来的热量。最初,宇宙温度极高,随着宇宙的膨胀才逐渐降低,目前观测的宇宙温度只比绝对零度高出了2.725摄氏度左右。宇宙微波背景的温度在整个宇宙几乎是均匀的,用非常精密的探测器才能观测到微小的波动,这些波动可能由量子涨落引起。

许多年后,在宇宙背景探测器(COBE)、威尔金森微波各向异性探测器(WMAP)和普朗克卫星(Planck)等仪器的物理观测结果帮助下,才间接验证了1981年的这一伟大预测,因此暴胀理论用于描述现实宇宙的可能性要比弦理论大很多。

简单来说,任何用来描述预测或描述可能性的数学模型,往往需要联系物理的客观可观测量才能被证实或用于描述现实。

用数学推导物理

守恒定律可能是你能想到的最基础的定律了,比如能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。然而你错了,这些守恒定律是一个数学定理的推导结果,它就是诺特定理,同时它也是理论物理的中心理论之一,这样数学和物理又有了一层复杂关系。诺特定理告诉我们:每一个连续对称,都对应一个守恒量。

这是什么意思?好吧,如果没有一些具体解释的话,可能很多人都看不懂。那么,现在就来解释一下吧。

首先,对称是什么?简单来说,如果你对某个物体进行一些操作,在这些操作之后,它看上去和之前一样,那么这个物体就是对称的。想象一下,在脸的中间放置一面镜子,镜子里的脸和你的脸应该是对称的;一些扑克牌在旋转180度后,和原来的扑克牌也是对称的。但这些都是离散对称,它们只沿单一的轴或在特殊旋转角度下对称,如果把扑克牌旋转90度,和原来的扑克牌就不是对称的了。而诺特定理中,讲的是连续对称——在任一轴和任一旋转角度下都是对称的,比如一个完美的球体无论旋转多少度,和原来的球体永远对称。

我们以动量守恒定律来举例。动量守恒定律是在空间平移对称性的基础上推导出来的——根据诺特定理,因为空间平移对称,所以必定有一个守恒量,而这个守恒量就是动量。空间平移对称性指的是物理规律并不依赖于空间坐标原点的选择,将空间平移后物理规律不会改变。形象地说,如果学校里有两个实验室,一个在北边,一个在南边,而你在两个实验室做同个实验,你得到的结果必然是一样的。最简单的动量守恒实验莫过于在不同的实验室里,让两个不同质量的小球以不同的速度相撞。通过精确的计算,你会发现碰撞前后,两个小球质量和速度的乘积之和是不变的,而质量和速度的乘积就是动量——这就是动量守恒定律。

数学是解决物理的工具

数学在物理中是有用的,这并不奇怪。当我们需要测量和计算物理公式时,数学是必不可少的工具。

这里有一个关于广义相对论的有趣故事。1912年,当时的爱因斯坦正酝酿着一个颠覆性的理论——广义相对论,此理论断言,大质量的物体会扭曲时空。但爱因斯坦在如何表述它上遇到了难题。这时,爱因斯坦发现,由数学家伯恩哈德·黎曼提出的曲率几何概念正是他需要的。黎曼几何赋予了爱因斯坦一个强大的数学基础,使他构建出了广义相对论的准确等式。

这个故事一定很让数学家们感到骄傲。在这个故事里,数学就像是物理的灯塔和引路人,在困难的时候给物理带去了光明与方向。但从中我们也可以看到,数学更像是解决物理的工具,学习这些工具会让解决物理问题变得更加容易。Sin30?你知道吧?它其实也是一个数学工具,当你在计算物理问题时,你总得先计算它,才能得到其他相关的具体量。

因此,数学就像钉子、木板、锤子和锯子,物理就像一栋房子,为了得到这栋房子,除了将所有材料组合在一起之外,还需要钉子、木板、锤子和锯子等工具来固定它,即数学是物理的工具。

那么你知道数学和物理的界限在哪里了吗?如果你能准确地描述宇宙,并能对它进行客观的测量和观察,你就是物理学。如果你的方程不能和任何的观测结果联系起来,那么你将牢牢地置身于数学领域;数学可以描述物理,也可以推导物理,解决物理问题……

关于如何界定数学和物理,你有什么想法呢?

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